La trayectoria de Alcaraz está marcada por la influencia de su familia y el entorno en el que creció. Nacido en Murcia, pasó sus primeros años en el club de tenis fundado por su tío abuelo, rodeado de su padre —quien fue director del club y exjugador— y sus tres hermanos.

Su vínculo con el deporte se consolidó en la infancia, donde la raqueta formaba parte de su rutina diaria. Álvaro, uno de sus hermanos, se convirtió en su principal compañero de entrenamiento, mientras que su padre apoyó su desarrollo competitivo desde el inicio.

El carácter competitivo de Alcaraz fue evidente desde pequeño. Kiko Navarro, su primer entrenador, relató: “Cuando era niño, rompía muchas raquetas y tenía que llevármelo llorando al hotel o a casa”. Esta anécdota, citada por la BBC, revela el temperamento y la exigencia que el joven tenista aplicaba a su propio desempeño.